一、向量基本运算
1.模长：向量\\(\\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\\)的模长
\\[ |\\vec{a}| = \\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \\]
2.点积：\\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos\
heta\\)
（\\(\
heta\\)为两向量夹角）
3.叉积：\\(\\vec{a} \
imes \\vec{b} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\end{vmatrix} \\)
4.混合积：\\(\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \
imes \\vec{c}) = \\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\end{vmatrix} \\)
二、平面方程
1.点法式：过点\\(M_0(x_0, y_0, z_0)\\)，法向量\\(\\vec{n} = (A, B, C)\\)
\\[ A(x
2.一般式：
\\[ Ax + By + Cz + D = 0 \\]
3.截距式：平面在坐标轴上的截距为\\(a, b, c\\)
\\[ \\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} = 1 \\]
三、直线方程
1.对称式（点向式）：过点\\(M_0(x_0, y_0, z_0)\\)，方向向量\\(\\vec{s} = (m, n, p)\\)
\\[ \\frac{x
2.参数式：
\\[
\\begin{cases}
x = x_0 + mt \\\\
y = y_0 + nt \\\\
z = z_0 + pt
\\end{cases}
\\]
3.一般式（两平面交线）：
\\[
\\begin{cases}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\\\
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
\\end{cases}
\\]
四、常见曲面方程
1.球面：球心\\((x_0, y_0, z_0)\\)，半径\\(R\\)
\\[ (x
2.柱面：准线为\\(F(x, y) = 0\\)，母线平行于\\(z\\)轴
\\[ F(x, y) = 0 \\]
3.锥面：顶点在原点，准线\\(F(x, y, z) = 0\\)
\\[ F(kx, ky, kz) = 0 \\quad (k \
eq 0) \\]
4.旋转曲面：曲线\\(C: \\begin{cases} f(y, z) = 0 \\\\ x = 0 \\end{cases}\\)绕\\(z\\)轴旋转
\\[ f\\left(\\sqrt{x^2 + y^2}, z\\right) = 0 \\]
五、距离与夹角公式
1.点到平面距离：点\\(M(x_0, y_0, z_0)\\)到平面\\(Ax + By + Cz + D = 0\\)
\\[ d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \\]
2.点到直线距离：点\\(M\\)到直线\\(L\\)
\\[ d = \\frac{|\\vec{M_0M} \
imes \\vec{s}|}{|\\vec{s}|} \\]
（\\(M_0\\)为直线上一点，\\(\\vec{s}\\)为直线方向向量）
3.两平面夹角：平面法向量\\(\\vec{n_1}, \\vec{n_2}\\)
\\[ \\cos\
heta = \\frac{|\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}|}{|\\vec{n_1}||\\vec{n_2}|} \\]
4.直线与平面夹角：直线方向向量\\(\\vec{s}\\)，平面法向量\\(\\vec{n}\\)
\\[ \\sin\\varphi = \\frac{|\\vec{s} \\cdot \\vec{n}|}{|\\vec{s}||\\vec{n}|} \\]
注：以上公式为空间解析几何核心内容，适用于快速查阅与计算。
